岐阜大学工学部解析学 II (Fukuda)

解析学 II 推奨問題

第 3 章 58 頁問 2、 61 頁問 3(2)(3)(4)、 63 頁問 4、 66 頁問 6、 68 頁問 7、 70 頁問 9、 76 頁問 10、 80 頁問 11

第 5 章 例 1 から 8 まで、例 9(1)

76 頁 問 10 改題y′ = \frac{dy}{dx} のみ求める。 (1)

x^{2}e^{y^{3}} = 4

両辺を x で微分して、

(x^{2})′e^{y^{3}} + x^{2}(e^{y^{3}})′ = 0
2xe^{y^{3}} + x^{2}e^{y^{3}}(y^{3})′ = 0
2xe^{y^{3}} + x^{2}e^{y^{3}}3y^{2}y′ = 0

従って、

y′ = −\frac{2}{3xy^{2}}

(2)

x^{3} − 3xy + 3y^{2} = 3

両辺を x で微分して、

3x^{2} − (3 · 1 · y + 3xy′) + 3 · 2yy′ = 0
x^{2} − y − xy′ + 2yy′ = 0

従って、

y′ = \frac{x^{2} − y}{x − 2y}

(3)

x − y + log xy = 0

両辺を x で微分して、

1 − y′ + \frac{1}{xy} (xy)′ = 0

1 − y′ + \frac{1}{xy} (1 · y + xy′) = 0

1 − y′ + \frac{1}{x} + \frac{y′}{y} = 0

従って、

y′ = \frac{(1 + x)y}{(y − 1)x}

80 頁 問 11 (3) これが正解です (2008 年春に購入の版にミス)。指摘して下さった方に感謝。

z = x^{3}y + xy^{3} − xy
z_{x} = 3x^{2}y + y^{3} − y, z_{y} = 3y^{2}x + x^{3} − x

z_{x} = z_{y} = 0 を解く。 z_{x} = y(3x^{2}+y^{2}−1) = 0 かつ z_{y} = x(3y^{2}+x^{2}−1) = 0 を解く。すると、

(x, y) = (0, 0), ±(1, 0), ±(0, 1), ±(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), ±(\frac{1}{2}, −\frac{1}{2})

さて、

z_{xx} = 6xy, z_{xy} = 3x^{2} + 3y^{2} − 1 = z_{yx}, z_{yy} = 6xy

よって

Hess(x, y) = z_{xx}z_{yy} − z_{xy}z_{yx} = 36x^{2}y^{2} − (3x^{2} + 3y^{2} − 1)^{2}

(x, y) = (0, 0), ±(1, 0), ±(0, 1) のときは、 Hess(x, y) < 0 なので z は極値を取らない。 (x, y) = ±(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), ±(\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}) のときは、 Hess(x, y) > 0 なので z は極値を取る。より詳細には、 (x, y) = ±(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) のときは、 z_{xx} > 0 なので極小値 z = −\frac{1}{8} を取り、 (x, y) = ±(\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}) のときは、 z_{xx} < 0 なので極大値 z = \frac{1}{8} を取る。

84 頁 問 14 改題z′ = \frac{dz}{dx} = 0 となる (x, y) の値の組（z の極値を与える候補者）を求めよ。

(1) 条件式 xy = 1 の両辺を x で微分して、

y + xy′ = 0

y′ = −\frac{y}{x}

条件付関数 z = x^{2} + 4y^{2} を x で微分して、

z′ = 2x + 8yy′ = 2x + 8y(−\frac{y}{x}) = \frac{2(x^{2} − 4y^{2})}{x}

z′ = 0 と条件式を連立させて、 x^{2} − 4y^{2} = 0 かつ xy = 1 より、 (x, y) = ±(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})

(2) 条件式 x + 2y = 1 の両辺を x で微分して、

1 + 2y′ = 0

y′ = −\frac{1}{2}

条件付関数 z = x^{2} + y^{2} を x で微分して、

z′ = 2x + 2yy′ = 2x + 2y(−\frac{1}{2}) = 2x − y

z′ = 0 と条件式を連立させて、 2x − y = 0 かつ x + 2y = 1 より、 (x, y) = (\frac{1}{5}, \frac{2}{5})

(3) 条件式 x^{2} + y^{2} = 4 (x > 0) の両辺を x で微分して、

2x + 2yy′ = 0

y′ = −\frac{x}{y}

条件付関数 z = xy^{3} を x で微分して、

z′ = y^{3} + 3xy^{2}y′ = y^{3} + 3xy^{2}(−\frac{x}{y}) = y^{3} − 3x^{2}y = y(y^{2} − 3x^{2})

z′ = 0 と条件式を連立させて、 y(y^{2} − 3x^{2}) = 0 かつ x^{2} + y^{2} = 4 (x > 0) より、 (x, y) = (1, ±\sqrt{3}), (2, 0)