幾何学III曲面幾何教案（2010年6月12日アップ）(20170722修正)

Euclid幾何学
１．2 点 A,B を通る直線は、唯 1 つ。
２．[平行線の公理]　直線 l 外の点 A を通り、l と平行な直線は、唯 1 つ存在する。
(注）平面上の 2 直線が、交わらないとき、互いに平行であるという。
３．三角形の内角の和は、180°である。

球面幾何（Riemann、19世紀中）
・単位球面（原点 O(0,0,0) 中心, 半径 1）を、「世界」とする。
・球の、中心 O を通る平面による、切り口（大円）を、「球面直線」とする。
１．2 点 A,B を通る「球面直線」：O,A,B を通る平面による、球面の切り口（大円）。
これは、唯 1 つとは限らない：
・O,A,B が同一直線上になければ、唯 1 つに決まる。・・・O,A,B を通る平面は唯 1 つなので。
・O,A,B が同一直線上（即ち、球の直径上）ならば、無数に存在する。・・・O,A,B を通る平面はたくさんあるので。
２．[平行線の非存在]　2 本の「球面直線（大円）」は、必ず 2 点で交わる。[O を通る 2 つの平面の交線は、球の直径であり、球面と 2 点で交わる。]
３．「球面三角形」の内角の和は、180°より大きい。

例―問
P(1,0,0)、Q(0,1,0)、R(0,0,1) を通る「球面三角形」の内角の和は何度か？
（注）扇形OPQ、OQR、ORP の弧が、「球面三角形」PQR の辺（「球面線分」）
解：球面三角形 PQR の内角の和 ＝ 球面角P ＋ 球面角Q ＋ 球面角R 
　　　　　　　　　　　　　　　＝ 90°＋90°＋90°＝ 270°
(Rが北極、P,Q を赤道上で、地球を描こう。)
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

双曲幾何（Poincare、19世紀末）：非Euclid幾何学
・単位円 K の内側デルタを「世界」とする。
・円周 K と直交する円弧を「擬直線」とする。
　特に、円 K の直径も「擬直線」とする。（・・・円周に直交する半径無限大の円と見做す。）
１．2 点 A,B を通る「擬直線」は、唯 1 つ。
・O,A,B が同一直線上にないとき、A,B を通り K と直交する円弧。（・・・A,B を通る円を縮めたり膨らませたりして、直交を実現する。）
・O,A,B が同一直線上にあるとき、O,A,B を通る直径。
２．[平行線の非唯一性]　「擬直線」L とその外部の点 A に対し、A を通り L に平行な「擬直線」が複数存在する。
３．「擬三角形」の内角の和は、180°より小さい。

例―問
(1,0)、(0,1) で、K と直交する円弧（「擬直線」）L を考える。A,B を L 上の 2 点とする。
[擬三角形 OAB の内角の和] (＝ 角O ＋ 擬角A ＋ 擬角B)
と
[三角形 OAB の内角の和（180°）] (＝ 角O ＋ 角A ＋ 角B)
の大小を比べよ。
（コメント）OA,OB は直径の一部分なので、「擬線分」。弧 AB は円 K に直交する円弧 L の一部分なので、もちろん「擬線分」。
解：[擬三角形 OAB の内角の和] ＝ 角O ＋ 擬角A ＋ 擬角B
　　　　　　　　　　　　　　　<  角O ＋ 　角A ＋ 　角B
　　　　　　　　　　　　　　　＝ [三角形 OAB の内角の和]（＝180°）